《主成分进行综合评价 综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较》

主成分进行综合评价 综合评价主成分分析方法与因子分析方法的比较

统计研究

主成分分析方法和因子分析方法都是寻求从高维空间到低维空间的映射的方法，其目的是起到降维的效果，以便于用几个较少的综合指标来综合所研究总体各方面的信息，且这几个指标所代表的信息不重叠，也就是说从高维空间到低维空间的映射仍保持高维空间的“序”的结构。但这两种综合评价方法往往易混淆，本文从这两种方法的统计依据、数学模型、计算方法、综合指标的选取等方面比较它们的异同，以供初学者参考。

１、统计依据不同。主成分分析方法的统计问题。依Ｐ个指标戈ｌ，ｘ２，Ａ，戈Ｐ的／７，个观察值矩阵Ｘ＝Ｇ０帅（已作标准化处理），能否找到能较好地综合反映这个Ｐ

.二

指标的线性函数Ｙ＝乞ａｔｘｔ，即

ｉ＝１

找到这个主成分的方法就是主成分分析方法。

因子分析方法的统计问题仍

口由Ｐ个指标戈。，戈。，Ａ，却的几个观钱道察信息阵Ｘ＝ＧＦ）忡，用有限个不翠

可观测的潜在变量来解释原始变量间的相关性或协方差关系，寻求这几个公因子的方法就是因子缉含汗价士气分析劣珐乡图分奸劣珐的火仪

分析法。它的原理源于已知信息的指标向量戈＝０。，戈。，Ａ，菇Ｐ）’，总存在正交变换戈＝Ｑｙ使得记ｘ＝Ａｚ，这里正交阵Ｑ是Ｘ＝Ｇ０。巾的

协方差阵ｙ的特征向量排成的，ｙ的各分量是不相关的，若茹的方差集中在少数几个变量三，，Ａ，缸上，即ｙ的特征值Ａ，，Ａ，Ａ。较大，后几个特征值Ａ㈨，Ａ，Ａ。很小几乎为零，于是就有因子模型算＝４厂＋ｓ。寻求公因子.厂及因子载荷阵Ａ的方法就是因子分析法。

，

２、数学模型不同。主成分分析的数学模型。Ｙ＝Ｅａｔ..ｒｉ，

１＝１

即主成分是原始指标的线性函数。因子分析的数学模型（称因子模型）：戈＝４厂＋￡，Ａ为因子载荷阵。厂为公因子向量，￡为随机误差项，Ｖｎｒｏｑ＝Ｉ。，Ｖａｒ（厂＋８）＝ｏ，Ｖａｒ

Ｉ３０圈羹堑绻过丝Ｑ丝生皇塑万

方数据（８）＝Ｄ。从形式上看二者的模型不同，但主成分分析又为因子分析中因子的寻求提供了一个有效的途径。主成分分析与因子分析法最易混淆的地方在于，将主成分分析方法与因子分析方法中估计公因子及因子载荷阵的主分量（主因子）法混为一谈。求解因子模型的方法有多种，也就是说因子模型的解不惟一，主分量（主因子）法仅仅是其中的一种参数估计方法。

３、计算方法不同。因子分析的主分量法。

为估计

模型石气伊￡的Ａ及.厂＇设样本协方差阵ｙ的特征值为

Ａ１＞－－Ａ：≥Ａ≥Ａ，≥０，相应的特征向量为ｅ，，ｅ２，Ａ，ｅ，，若前

ｏ.

个特征值的和与总方差上４的比大于，则

ｌｏＩ

ＶｚＡｇｌｅ。＋人＋丸已。ｅｍ７＋Ｄ

ｆ√五彳１ｆ《

１

＝（√丑ｑ，Ａ，√厶％１ＭＩ＋Ｉ

Ｏ

Ｉ√九Ｌ.Ｉ

Ｉ盯；Ｊ

＝ＡＡ’＋Ｄ

因子载荷阵Ａ２（√丑巳，人，√丸％），砰＝％一∑彳，（汪ｌ，２.Ａ，ｐ），

ｔ＝ｌ

由这种方法得到因子模型的一个解Ａ及Ｄ就是因子模型的主分量解。因子载荷阵Ａ中的第Ｊ列的元素与

Ｄ

主成分分析中第，个主成分乃＝∑唧＾的系数啕仅相差

ｒ－

Ｉｄ

√＾倍，因子分析的主分量解也是因此而得名。因子

载荷阵Ａ，舻（６０的第ｉ行元素的意义：由模型ｘ＝价Ｅ

及Ｖ＝ＡＡ

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